URSS.ru - Купить книгу: Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. / Современная геометрия: Методы и приложения: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей / Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. / ISBN 978-5-397-03932-1
Опубликовано: 03.11.2017
Предисловие к серии (В.А.Садовничий) | |||
Предисловие ко второму изданию | |||
Предисловие к первому изданию | |||
Глава 1. | Геометрия в области пространства. Основные понятия | ||
§ 1. | Системы координат | ||
1. | Декартовы координаты в пространстве | ||
2. | Замена координат | ||
§ 2. | Евклидово пространство | ||
1. | Кривая в евклидовом пространстве | ||
2. | Квадратичные формы и векторы | ||
§ 3. | Римановы и псевдоримановы пространства | ||
1. | Риманова метрика | ||
2. | Метрика Минковского | ||
§ 4. | Простейшие группы преобразований евклидова пространства | ||
1. | Группы преобразований области | ||
2. | Преобразование плоскости | ||
3. | Движения трехмерного евклидова пространства | ||
4. | Другие примеры групп преобразований | ||
§ 5. | Формулы Френе | ||
1. | Кривизна плоских кривых | ||
2. | Пространственные кривые. Кривизна и кручение | ||
3. | Ортогональные преобразования, зависящие от параметра | ||
§ 6. | Псевдоевклидовы пространства | ||
1. | Простейшие понятия специальной теории относительности | ||
2. | Преобразования Лоренца | ||
Глава 2. | Теория поверхностей | ||
§ 7. | Геометрия на поверхности в пространстве | ||
1. | Координаты на поверхности | ||
2. | Касательная плоскость | ||
3. | Метрика на поверхности | ||
4. | Площадь поверхности | ||
§ 8. | Вторая квадратичная форма | ||
1. | Кривизна кривых на поверхности в евклидовом пространстве | ||
2. | Инварианты пары квадратичных форм | ||
3. | Свойства второй квадратичной формы | ||
§ 9. | Метрика сферы | ||
§ 10. | Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовом пространстве | ||
1. | Псевдосфера | ||
2. | Кривизна пространственноподобных поверхностей... | ||
§ 11. | Комплексный язык в геометрии | ||
1. | Комплексные и вещественные координаты | ||
2. | Эрмитово скалярное произведение | ||
3. | Примеры групп комплексных преобразований | ||
§ 12. | Аналитические функции | ||
1. | Комплексная запись элемента длины и дифференциала функции | ||
2. | Комплексные замены координат | ||
3. | Поверхности в комплексном пространстве | ||
§ 13. | Конформный вид метрик поверхностей | ||
1. | Изотермические координаты. Гауссова кривизна в конформных координатах | ||
2. | Метрики сферы и плоскости Лобачевского в конформном виде | ||
3. | Поверхности постоянной кривизны | ||
§ 14. | Группы преобразований как поверхности в N-мерном пространстве | ||
1. | Координаты в окрестности единицы | ||
2. | Экспонента от матрицы | ||
3. | Кватернионы | ||
§ 15. | Конформные преобразования многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств | ||
Глава 3. | Тензоры. Алгебраическая теория | ||
§ 16. | Примеры тензоров | ||
§ 17. | Общее определение тензора | ||
1. | Закон преобразования компонент тензоров произвольного ранга | ||
2. | Алгебраические операции над тензорами | ||
§ 18. | Тензоры типа (0,k) | ||
1. | Дифференциальная форма записи тензоров с нижними индексами | ||
2. | Кососимметрические тензоры типа (0,k) | ||
3. | Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешняя алгебра | ||
4. | Кососимметрические тензоры типа (k,0) (поливекторы). Интеграл от антикоммутирующих переменных. | ||
§ 19. | Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве | ||
1. | Поднятие и опускание индексов | ||
2. | Собственные значения квадратичной формы | ||
3. | Оператор * | ||
4. | Тензоры в евклидовом пространстве | ||
§ 20. | Кристаллографические группы и конечные подгруппы группы вращений плоскости и пространства. Примеры инвариантных тензоров | ||
§ 21. | Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве и их собственные значения | ||
1. | Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнитного поля | ||
2. | Симметрические тензоры и собственные значения. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля | ||
§ 22. | Поведение тензоров при отображениях | ||
1. | Общая операция ограничения тензоров с нижними индексами | ||
2. | Отображение касательных пространств | ||
§ 23. | Векторные поля | ||
1. | Однопараметрические группы диффеоморфизмов | ||
2. | Экспонента от векторного поля | ||
3. | Производная Ли. Примеры | ||
§ 24. | Алгебры Ли | ||
1. | Алгебры Ли и векторные поля | ||
2. | Основные матричные алгебры Ли | ||
3. | Линейные векторные поля | ||
4. | Левоинвариантные поля на группах преобразований | ||
5. | Метрика Киллинга | ||
6. | Классификация трехмерных алгебр Ли | ||
7. | Алгебра Ли конформной группы | ||
Глава 4. | Дифференциальное исчисление тензоров | ||
§ 25. | Дифференциальное исчисление кососимметрических тензоров | ||
1. | Градиент кососимметрического тензора | ||
2. | Внешний дифференциал формы | ||
§ 26. | Кососимметрические тензоры и теория интегрирования | ||
1. | Интегрирование дифференциальных форм | ||
2. | Примеры дифференциальных форм | ||
3. | Общая формула Стокса. Примеры | ||
4. | Доказательство общей формулы Стокса для куба | ||
§ 27. | Дифференциальные формы в комплексных пространствах | ||
1. | Операторы d' и d'' | ||
2. | Кэлерова метрика. Форма кривизны | ||
§ 28. | Ковариантное дифференцирование | ||
1. | Евклидова связность | ||
2. | Ковариантное дифференцирование тензоров произвольного ранга | ||
§ 29. | Ковариантное дифференцирование и метрика | ||
1. | Параллельный перенос векторных полей | ||
2. | Геодезические | ||
3. | Связности, согласованные с метрикой | ||
4. | Связности, согласованные с комплексной структурой | ||
§ 30. | Тензор кривизны | ||
1. | Общий тензор кривизны | ||
2. | Симметрии тензора кривизны. Тензор кривизны, порожденный метрикой | ||
3. | Примеры: тензор кривизны двух- и трехмерных пространств, метрики Киллинга | ||
4. | Уравнения Петерсона--Кодацци. Поверхности постоянной отрицательной кривизны и уравнение "sine-Gordon" | ||
Глава 5. | Элементы вариационного исчисления | ||
§ 31. | Одномерные вариационные задачи | ||
1. | Уравнения Эйлера--Лагранжа | ||
2. | Основные примеры функционалов | ||
§ 32. | Законы сохранения | ||
1. | Группы преобразований, сохраняющих вариационную задачу | ||
2. | Некоторые примеры. Применение законов сохранения | ||
§ 33. | Гамильтонов формализм | ||
1. | Преобразование Лежандра | ||
2. | Движущиеся системы координат | ||
3. | Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения | ||
§ 34. | Геометрическая теория фазового пространства | ||
1. | Градиентные системы | ||
2. | Скобка Пуассона | ||
3. | Канонические преобразования | ||
§ 35. | Лагранжевы поверхности | ||
1. | Пучки траекторий и уравнение Гамильтона--Якоби | ||
2. | Случай гамильтонианов, являющихся однородными функциями первого порядка от импульсов | ||
§ 36. | Вторая вариация для уравнения геодезических | ||
1. | Формула второй вариации | ||
2. | Сопряженные точки и условие минимальности | ||
Глава 6. | Многомерные вариационные задачи. Поля и их геометрические инварианты | ||
§ 37. | Простейшие многомерные вариационные задачи | ||
1. | Уравнения Эйлера--Лагранжа | ||
2. | Тензор энергии-импульса | ||
3. | Уравнения электромагнитного поля | ||
4. | Уравнения гравитационного поля | ||
5. | Мыльные пленки | ||
6. | Уравнение равновесия тонкой пластинки | ||
§ 38. | Примеры лагранжианов | ||
§ 39. | Простейшие понятия общей теории относительности | ||
§ 40. | Спинорное представление групп SO(3) и O(3,1) . Уравнение Дирака и его свойства | ||
1. | Автоморфизмы алгебры матриц | ||
2. | Спинорное представление группы SO(3) | ||
3. | Спинорное представление группы Лоренца | ||
4. | Уравнение Дирака | ||
5. | Уравнение Дирака в электромагнитном поле. Оператор зарядового сопряжения | ||
§ 41. | Ковариантное дифференцирование полей с произвольной симметрией | ||
1. | Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариантные лагранжианы | ||
2. | Форма кривизны | ||
3. | Основные примеры | ||
§ 42. | Примеры калибровочно инвариантных функционалов. Уравнения Максвелла и Янга--Миллса. Функционалы с тождественно нулевой вариационной производной (характеристические классы) | ||
Список литературы | |||
Предметный указатель |
При подготовке второго издания книги авторы учли многочисленные отзывы и пожелания читателей -- от студентов и аспирантов до крупных ученых, математиков и физиков. Наиболее значительной методической перестройке подверглись разделы, посвященные геометрической теории фазового пространства и гамильтонова формализма. Дано также систематическое изложение бесконечномерного (теоретико-полевого) обобщения гамильтонова формализма.